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(*.102.112.133) 조회 수 12203 추천 수 1 댓글 4
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행렬은 물리에서 정말 유용하게 이용되는 테크닉이라 할 수 있는데 기본 이론이 나름 설명하기 쉬워서 스터디 게시판의 첫 글을 장식해봄.

?

지금부터 연립방정식의 해를 행렬을 이용하여 구하는 방법을 예를 들어 소개해볼까함. 처음 접할때 나름 생소해서 확실하게 짚고 넘어가야 할 부분임.

(또한 이?때 굉장히 중요한 행렬식에 대해서도 언급함)

?

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?Step1. 행렬 표기

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gif.latex?\begin{align*}&space;3x+2???????

… (1)

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(1)을 아래와 같이 행렬로 표기해준다.

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gif.latex?\left(&space;\begin{array}{ccc??????

???… (2)

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(1)에서 바로?소거법을 이용해서 무작정 풀기보단 새로운 정의와 연산(행렬)을?하면 기존의 방법보단 더 간단히 풀릴 수가 있다. (정의의 힘)

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물론 2차 연립방정식과 같이 방정식 자체가 간단하다면 굳이 행렬을 적용할?번거로움 없이 바로 소거시켜 구하기에 더 빠르고 쉽겠지만,

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3원, 4원, … n원 로 가면 행렬로 푸는게 훨신 더?직관적 이해도?편하고 더 쉬움. (정의의 힘)

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?Step2.?해 행렬에 대하여 정리

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설명의 편의를 위해 일단 아래와 같이 정의를 하나 하고 넘어가자.

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gif.latex?\mathrm{A}:=\left(&space;\begi

?

그럼 이제?(2)가 아래와 같이?보기 쉽게?표현된다.

?

?????? gif.latex?\mathrm{A}\cdot\mathbf{r}=\mat

???… (3)

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구해야 하는 해는 r이기 때문에 행렬의 연산법칙을 이용하여 좌변에 r만 남기자.

(이 때 이용되는게 역행렬)

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?????? gif.latex?\mathbf{r}=\mathrm{A}^{-1}\cdo

??… (4)

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이제 A의 역행렬만 구하면 됨.

?

?

Step3. 역행렬 구하기

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역행렬의 정의는 아래와 같다.

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gif.latex?\mathrm{A}\cdot\mathrm{A}^{-1}

(I는 단위행렬)

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위 성질을 만족하는 (역)행렬의 모양새는 아래와 같다.

(이 때 행렬식이 이용됨)?

?

gif.latex?\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{\math??????

… (5)

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(det(A)는 A의 행렬식이고 A^T는 A의 전치행렬)?

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사실 이 부분이 키포인트라고 생각함. 이 부분으로 인해서 기존의 소거법으로는 굉장히 복잡했던 계산이 단순하게 해결되버림. (이 부분도?det(A)로 인한 것이지.)

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결국 행렬 테크닉은 행렬식이 핵심이란걸 알 수 있다.

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행렬식이 0이면 A의 역행렬이 존재하지 않고 이는 곧 r, 즉 해가 존재하지 않는다는 것과 연결됨. (4)참고

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고로 행렬식이 해의 존재를 판별하니까 영어로 Determinant가 아닌가 싶다.

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Step4. 행렬식 계산

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사실 (5)가 왜 나오는지 알면 행렬식의 계산법도 자연스레 알게되고 모든게 이해됨. 크래머(Cramer) 규칙도 이 원리를 알면 그냥 바로 알 수 있음.

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곧 (5)를 유도할줄 알면 이론은 완벽히 마스터한거나 다름없지.

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근데 (5)의 유도가 상당히 골치아프다. 생각을 해보면 당연히 어려울 수 밖에 없는거 같음.

?

어떤 정사각행렬이 있을 때 행렬의 곱셈 교환법칙이 성립하면서 결과가 단위행렬이 나오는 행렬의 일반적 형태를 구한거니까.

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3 x 3 행렬의 행렬식의 계산은 아래와 같음.

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05ec4352255f8d0fdd091b0d4fcad7cf.png

(이미지 출처 : http://upload.wikimedia.org/math/0/5/e/05ec4352255f8d0fdd091b0d4fcad7cf.png)

?

사실 행렬식을 계산하는데는 때에따라 굉장히 다양한 수법이 적용될 수 있다. 위는 그냥 일반적 형태임.

?

예제로 넘어와 det(A)를 계산하면

?

gif.latex?\mathrm{det}\left&space;(\math.

?

A^T는 단순히

?

gif.latex?\mathrm{A^T}=\left(&space;\beg.

?

이로써 A의 역행렬은

?

gif.latex?\mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{21}\l.

?

구하는 행렬 r은

?

gif.latex?\mathbf{r}=\frac{1}{21}\left(&.

?

이렇게 구한다.

?

?

?다음 글은 선형독립에 대해 소개하겠음.




  • ?
    익명 2013.08.01 09:06 (*.226.204.178)
    선형대수학?
    이 게시판은 강좌를 올리는 곳이 아닌 거 같은데
  • ?
    익명 (글쓴이) 2013.08.01 09:12 (*.102.112.133)

    딱히 게시판에 공지는 없음

    ?

    이론 소개나 서로 의견을 공유하며 지식을 발전시키기 위한 토론장임.

    ?

    공부하는 스터디룸

  • ?
    익명 2013.08.01 10:48 (*.108.95.114)
    transpose에 대한 설명이 없어요 A^T
  • ?
    익명 2013.08.01 20:20 (*.138.45.76)

    어차피 선형대수에서 배움ㅋㅋ

    오른쪽아래로 내려오는 대각선은 그대로 두고

    그 대각선을 중심으로 대칭시킨거에요


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