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2013.08.02 10:54

선형독립 (Linear Indepence)

(*.102.112.133) 조회 수 63040 추천 수 0 댓글 4
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선형독립이란?


정의상으론 n차원 공간에 어떤 벡터들의 집합이 있을 때, 그 벡터들을 선형결합했을 때?스칼라 계수가?오직 0일 때만 값이 0이 되면?선형독립이라하고,


직관적으론?그 벡터들의 선형결합으로 1차원이 아닌 n차원 이하의 공간을 생성할 수 있으면 그 벡터집합은 선형독립이라 함. (이를 쉽게 m차원을 span한다고 함)


(수학과에선 좀 엄밀하게 다루더라고. 이를 basis field가 같으면 위상학적으로 isomorphic이라 함. 그래서 n차원 이하 공간이라 칭한 것임)


선형독립인 벡터 집합이 n차원 공간을 모두 생성할 수 있으면 이는 기저(Basis)라고함.


몇가지 예를 들어보자.



2 차원


다음 2개의 벡터 집합이 선형 독립인지 알아보자.


gif.latex?\left&space;(&space;1,2&space;


이 둘의 선형결합은 아래와 같다.


gif.latex?a_1\left&space;(&space;1,2&spa


이 값이 0일 때 a_1, a_2를 구해보자.


gif.latex?\begin{align*}&space;a_1-2a_2&


위 연립 방정식을 풀면 a_1, a_2는 각각 0임.


고로 이 둘은 선형독립이다. 2차원?이하?공간에서 1차원이 아닌 공간은 2차원 뿐이니까 이 두 벡터로 2차원 상의 모든 점을 나타낼 수 있음. 곧 기저란 말.


벡터를 그리고 생각하면 이해가 될 것임.


p1.png?


이 두 벡터가 서로 방향이 다르니까 스칼라 계수가 0이아닌 이상 절대로 0벡터를 만들 수 없고 (이 점이 선형독립 정의의 키포인트)


이 둘을 선형결합하면 모든 점을 표현 할 수 있음.


말보단 보고 혼자 생각해보면 이해 될 듯...


만일 아래처럼 두 벡터가 방향이 같으면 이를 선형종속이라 함.


p1-1.png

이 두 벡터론 선 말곤 2차원상 아무것도 못 생성함. 선에 종속되어 있어서 선형종속이라 생각하면 편할듯.




3차원


다음 3개의 벡터 집합이 선형 독립인지 알아보자.


gif.latex?\left&space;(&space;1,4,-1&spa


이 셋의 선형결합은 아래와 같다.


gif.latex?a_1\left&space;(&space;1,4,-1&


이 값이 0일 때 a_1, a_2, a_3를 구해보자.


gif.latex?\begin{align*}a_1-2a_2+3a_3&=0


후... 3원 연립방정식이 나왔네. 전에 소개한 방법으로 구하면 쉬움.


a_1, a_2, a_3가 각각 0일 때만 위 방정식이 성립함.


고로 이 벡터집합은 선형 독립임.




  • ?
    익명 2013.08.02 13:17 (*.216.44.56)
    법학도인데 이런거 보면 멋있다
    아 뭔가 풀어가는 느낌이야
  • ?
    익명 2013.08.03 01:02 (*.176.37.7)

    법학 스터디 강좌도 써봐요.?

  • ?
    익명 2013.08.05 00:17 (*.102.229.70)

    저도 차차 이번학기 듣는 수업 중심으로 법학 올려보겠음!

  • ?
    익명 2013.08.05 12:58 (*.176.37.7)

    ㅋㅋㅋ 굳굳



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